суббота, 14 января 2012 г.

Головоломный псот

Я иногда задаю себе задачки, чтобы мозг не расслаблялся. И есть две задачи, решить которые у меня не получается, как ни напрягай серое вещество.
1. Еще в школе, когда мы проходили степенные уравнения, я с Виктором Дементьевым ломал голову над следующим уравнением:
А^х = Х. (А в степени Х равно Х), найти Х, то есть выразить его через А.
Можно порассуждать логически, поставив задачу словесно: какое число Х, являясь показателем степени даёт само себя при любом А? Самое очевидное - это попробовать 0 и 1. Проверяем:
А^0 <> 0, т.к. любое число, возведённое в степень 0 даёт 1.
A^1 <> 1, т.к. любое число, возведённое в степень 1 даёт само число.
Что ещё приходит на ум: попытаться преобразовать степенное уравнение в логарифмическое. Но тогда мы получаем следующее:
Log a X = X - опять та же неразрешимая задача. Ответа я так и не нашёл. Возможно, можно представить себе некое иррациональное, или даже комплексное число, которое будет решением (подобно тому как решается уравнение Х^2 = -1), но это уже высшая математика.




2. Вторую задачу я задал себе уже после школы, когда мозг уже начал костенеть. Она описывается так: Равносторонний треугольник со стороной А вписан в окружность. Найти радиус окружности, если известна сторона треугольника.
Задача по геометрии. Долго бился, много чертил, пытался выстроить медианы, вычислить длины по известной формуле Пифагора, но так и не решил.
Но оказалось всё очень просто.
Решение подсказала Википедия.
Оказывается оно давно уже вычислено. Не знаю, как вычислено, но оно такое:
Вот такая математика, друзья.